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精度と誤差 (2016.03.10)

こんなツイートを見かけたので

計算してみる

半径rを測定して円の面積Sを求めるシチュエーションを考えます。
とりあえずπ、半径r、誤差としてrの比率をαとします。
$ \begin{eqnarray*} S&=&\pi(r(1+\alpha))^2\\ &=&\pi(r+r\alpha)^2\\ &=&\pi(r^2+2r^2\alpha+r^2\alpha^2)\\ &=&\pi(r^2+2r^2\alpha+r^2\alpha^2)\\ &=&\pi r^2+2\pi r^2\alpha+\pi r^2\alpha^2\\ \end{eqnarray*} $
公式での円の面積(真値)は
$ 真値=\pi r^2 $
真値を基準にした誤差の比率は
$ \begin{eqnarray*} 比率&=&\displaystyle \frac{S}{真値}-1\\ &=&\displaystyle \frac{\pi r^2+2\pi r^2\alpha+\pi r^2\alpha^2}{\pi r^2}-1\\ &=&\displaystyle \frac{\pi r^2}{\pi r^2}+\frac{2\pi r^2\alpha}{\pi r^2}+\frac{\pi r^2\alpha^2}{\pi r^2}-1\\ &=&\displaystyle 1+2\alpha+\alpha^2-1\\ &=&\displaystyle 2\alpha+\alpha^2 \end{eqnarray*} $
例えばα=0.01(1%)とすると
$ \begin{eqnarray*} 比率&=&\displaystyle 2\alpha+\alpha^2\\ &=&\displaystyle 2(0.01)+(0.01)^2\\ &=&\displaystyle 0.02+0.0001\\ &=&\displaystyle 0.0201 \end{eqnarray*} $
うん、ほぼ2倍だコレ。 測定の誤差が1%であれば面積の誤差は約2%(少し多い)。