■整角四角形問題(ラングレーの問題)
四角形の対角線を引き,
とおく。
このとき,を求めよ。


【解】いま,とおく。
において,・・・@(正弦定理)
において,・・・A(正弦定理)
において,・・・B(正弦定理)
@,A,Bを辺々掛け合わせると

・・・C
左辺であるから


であるから

・・・D 【答】

【補足1】
(1)
実際,C式からを求めることができる。
趣味の数学問題集 B問題3番の解答を参照
(2)
D式から,Excelを使って角の数値を求めることができる。
まず,角α,β,γ,δの値をセルA3,B3,C3,D3に順に入力する。
セルE3に次の式を入力すると角の値が出力される。
=ATAN(SIN(A3*PI()/180)*SIN(C3*PI()/180)*SIN((B3+C3+D3)*PI()/180)/(SIN((A3+B3) *PI()/180)*SIN(D3*PI()/180)+SIN(A3*PI()/180)*SIN(C3*PI()/180)*COS((B3+C3+D3) *PI()/180)))*180/PI()

【補足2】
(1) α=20°,β=60°の場合の整角四角形は11通り
ただし,次の場合は除いてある。
 @ α=δの場合,
 A β+γ=90°,γ=δの場合,
 B α=β,β+γ=90°の場合
(2010/11/03)
(2) α,βが5の倍数の角で,α+β≦90°となる整角四角形は1,576通り
 (y=∠DAC,ε=∠CDB,ζ=∠CAB)
(解説)
 四角形の4つの内角のうち,少なくとも1つの内角は90°以下であるから,∠ABC=α+β≦90°の場合を考えた。
 α=5°の場合,β=5°,10°,・・・,85°の17通り。
 α=10°の場合,β=5°,10°,・・・,80°の16通り。
 ・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・
 α=85°の場合,β=5°の1通り。
 従って,αとβの組み合せは 17+16+・・・+1=153(通り)
 次に,γとδは,1°〜179°までの179通りを考えると,1792=32,041(通り)調べる必要がある。
 これらの組み合せの中で(153×32,041=4,902,273通り),角xが整数になる場合が,1,576通りあった。
 ただし,次の場合は除いてある。
 @ α=δの場合(x=α),
 A β+γ=90°,γ=δの場合(x=α),
 B α=β,β+γ=90°の場合(x=90°−δ)
(2010/11/26,Last update 2010/12/05)
(3) (2011年に因んで)α=20°,β=11°の場合の整角四角形は,次のとおり3通り。
Noαβγδεζ
120113179202259118
22011704059225979
320111184059701131
420123278202458116
52012704058245878
6201274108068474
720121164058701232
820133377202657114
92013704057265777
1020131144057701333
1120143476202856112
122014704056285676
13201473108078373
1420141124056701434
1520163674203254108
162016704054325474
17201672108088272
1820161084054701636
1920173773203453106
202017704053345373
2120171064053701737
2220183872203652104
232018704052365272
24201871108098171
2520181044052701838
2620193971203851102
272019704051385171
2820191024051701939
292021416920424998
302021704049424969
312021984049702141
322022426820444896
332022691080117969
342022704048444868
352022964048702242
362023436720464794
372023704047464767
382023944047702343
392024446620484692
402024681080127868
412024704046484666
422024924046702444
432026466420524488
442026671080137767
452026704044524464
462026884044702646
472027476320544386
482027704043544363
492027864043702747
502028486220564284
512028661080147666
522028704042564262
532028844042702848
542029496120584182
552029704041584161
562029824041702949

 
(公式)
No.1
No.2
No,3
(証明)
[1]  自明
[2] 
分母を払って移項すると

以上,[1],[2]より

(終証)
(2010/11/28,29)

【補足3】
この問題がラングレーの問題ということを,第75回数実研(2010/11/27)に参加していたある先生から知ることができた。
【関連サイト】
ラングレーの問題 - Wikipedia
スウガクとくガウス
weblio ラングレーの問題
(2010/11/27)